Annahmen wurden gelockert und verallgemeinert in viele Richtungen, was zu einer Vielzahl von Modellen, die derzeit im Derivate pricing und Risikomanagement verwendet werden. Scholes Gleichung, eine partielle Differentialgleichung, die den Preis der Option regelt ist auch wichtig, da es ermöglicht, Preisgestaltung, wenn eine explizite Formel nicht möglich ist. Die zentrale Idee hinter dem Modell soll die Option Absicherung durch Kauf und Verkauf des Basiswerts in genau richtig und, als Konsequenz, um Risiko zu beseitigen. Scholes-Modell wird davon ausgegangen, dass der Markt mindestens eine riskante Vermögens-, normalerweise genannt die Lager und eine risikolose Anlage, gewöhnlich als der Geldmarkt, Bargeld oder Anleihe besteht. Die Aktie keine Dividende zu zahlen.
ergriffen von der Börse bis zu diesem Zeitpunkt. Angenommen Sie mit diesen Annahmen halten es gibt einen derivativen Wertpapiers auch Handel in diesem Markt. Ihre dynamische hedging-umriss führte zu eine partielle Differentialgleichung, die den Preis der Option geregelt. der Preis einer europäischen Verkaufsoption. der Ausübungspreis der Option. Einige dieser Annahmen des ursprünglichen Modells wurden in spätere Erweiterungen des Modells entfernt.
der Wert eines Portfolios. der Preis für ein Derivat als Funktion der Zeit und Aktienkurs. Es ist möglich zu leihen und verleihen jeder Betrag, sogar gebrochene von Bargeld auf der risikolose Zinssatz. Preis ist zum aktuellen Zeitpunkt vollständig bestimmt, obwohl wir nicht wissen, welchen Weg der Aktienkurs in der Zukunft stattfinden wird.
Scholes Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die den Preis der Option im Laufe der Zeit beschreibt. In diesem Beispiel wird der Basispreis auf Einheit festgelegt. Scholes-Formel berechnet den Preis der Europäischen setzen und call-Optionen. und warum gibt es zwei verschiedene Begriffe.
Scholes Gleichung wie oben Dies folgt, da die Formel erzielt werden kann, durch die Lösung der Gleichung für die entsprechenden Terminal und Randbedingungen. in den jeweiligen Numéraire, wie unten beschrieben. Scholes-Formel ist eine Differenz von zwei Begriffen, und diese beiden Begriffe gleichwertig Binär Call-Optionen. Diese binären Optionen sind viel seltener als Vanille Call-Optionen gehandelt, aber leichter zu analysieren. Lemma auf geometrische Brownsche Bewegung angewendet.
ist komplizierter, als die Wahrscheinlichkeit des auslaufenden das Geld und den Wert der Anlage am Ablauf sind nicht unabhängig. wie oben definiert ist. und damit diese Mengen sind unabhängig davon, ob eine Numéraire an der Anlage als Bargeld Änderungen. jedoch eignet sich nicht um eine einfache Wahrscheinlichkeit Interpretation. Mathews Methode zur echten Alternative Bewertung.
Geld unter das reale Wahrscheinlichkeit Maß. der Drift-Begriff in die physikalische Maßnahme, oder gleichwertig, der Marktpreis des Risikos. Somit ist der Optionspreis der Erwartungswert der ermäßigten Auszahlung der Option. Kac-Formel besagt, dass die Lösung für diese Art von PDE, wenn angemessen, ermäßigte tatsächlich ein Martingal. neutrale Maßnahme, die unterscheidet sich von der realen Welt messen. Computing des Optionspreis über diese Erwartung ist der Neutralität Ansatz und kann ohne Kenntnis der PDEs erfolgen.
unter Finanzmathematik für Details siehe wiederum Rumpf. halten Sie die anderen Parameter fest. Sie sind die partiellen Ableitungen des Preises in Bezug auf die Parameterwerte. Die Griechen sind nicht nur in der mathematischen Theorie der Finanzen, sondern auch für diejenigen aktiv Handel wichtig. Zinssatz, der erwarteten Asset-Preis nach Ablauf, da die Preise für Vermögenswerte bei Verfall über dem Ausübungspreis ist. Grenzwerte für jede der Griechen, die ihre Händler nicht überschreiten darf. Scholes sind in geschlossenen Form unten gegeben.
Delta ist die wichtigste griechische, da dies in der Regel das größte Risiko verleiht. ist die standard normalen Wahrscheinlichkeit Dichtefunktion. Voraussetzungen, um das Ausmaß der voraussichtliche Veränderungen in den Parametern entsprechen. Das Modell kann auch verwendet werden, europäische Optionen auf Dividenden zahlenden Instrumente zu schätzen. Verlängerung der Black Scholes Formel einstellen für Auszahlungen des Basiswerts. Formularlösungen sind verfügbar, wenn die Dividende eine bekannte Anteil des Aktienkurses ist.
Scholes Framework Optionen auf diskrete proportionale Dividenden zahlenden Instrumente. Dies ist nützlich, wenn die Option auf eine einzelne Aktie getroffen wird. zahlt dem Terminkurs für die Dividende Aktie.
Beachten Sie, dass aus den Formeln klar ist, dass die Gamma-Korrektur der gleiche Wert für Anrufe ist und legt und so ist auch die Vega der gleiche Wert für Anrufe und put-Optionen. ist eine weitere Näherungsformel. Das Problem des Findens des Preis für eine amerikanische Option bezieht sich auf das Problem der optimalen Halt zu finden, die Zeit, um die Option ausführen. Für Optionen auf Indizes ist es sinnvoll, die vereinfachende Annahme, die Dividenden sind kontinuierlich, und dass die Dividendensumme ist proportional zum Füllstand des Index, zu machen.
Mit einigen Annahmen ergibt sich dann eine quadratische Gleichung, die die Lösung für Letzteres nähert. gliedert sich in zwei Komponenten: der Europäische Optionswert und die frühen Übung Premium. Datum, wenn die Option vor dem Fälligkeitstermin ausgeschlagen ist. bieten Sie eine Annäherung anhand einer Übung umriss entsprechend Preisschwelle. so dass man zwischen frühen Bewegung und Betrieb bis zur Fälligkeit gleichgültig ist.
Die Formel wird für die Bewertung der put-Option, put-Call-Parität mit leicht modifiziert. Dies zahlt eine Einheit von Bargeld, wenn der Spot über den Streik am Ende der Laufzeit ist. Durch das Lösen der Black-Scholes-Differentialgleichung, wir am Ende mit für die Randbedingung die Heaviside-Funktion, mit der Preisgestaltung von Optionen, die eine Einheit über einige vordefinierte Basispreis und unten nichts bezahlen. Dies wird ausgezahlt, eine Einheit von Bargeld ist der Ort unter den Streik am Ende der Laufzeit. oder nichts nennen bzw..
oder nichts nennen bzw.. Dies wird ausgezahlt, eine Einheit der Anlage liegt der Ort unter den Streik am Ende der Laufzeit. Dies zahlt eine Einheit des Vermögenswertes, wenn der Spot über den Streik am Ende der Laufzeit ist. Einheit, auf den Barwert abgezinst. der inländische Zinssatz und den Rest als oben, wir die folgenden Ergebnisse zu erzielen. Die Verzerrung ist wichtig, weil der Binärdatei erheblich mehr als die normalen Optionen wirkt.
Scholes-Modell beruht auf Symmetrie der Verteilung und ignoriert die schiefe der Verteilung des Vermögens. Volatilität hängt dem Basispreis, so Einbeziehung der Volatilität neigen zu berücksichtigen. Scholes-Modell erfasst keine extremen Bewegungen wie Börsencrashs. Neigung ist in der Regel negativ, so dass der Wert eine binäre Call höher ist, wenn Neigung unter Berücksichtigung.
